Sayı Teorisi Nedir Öğrenelim
Sayı teorisi kavramı, matematikte, sayı çeşitlerinin ve sayma ilkelerinin bütününü kapsayan bilgiler toplamıdır. Bu bölümde, sayı teorisiyle ilgili oldukça geniş bir bilgi içeriği bulacaksınız. Sayı teorisinin, çok fazla sayıda konuyu içerdiği düşünülürse, sayı teorisinin her ayrıntısının burada bulunması mümkün değil. Ancak, sayı teorisi bölümümüz sürekli güncellenen ve gelişen bir bölüm olacak. Sitemizin bu bölümünde şu anda, Karmaşık sayılar, pi sayısı ve poliandromik sayılarla ilgili ayrıntılı bilgilere ulaşabilirsiniz. Bunların yanında, özel sayılar bölümünde, matematiğin çeşitli seviyelerinde karşımıza çıkan bazı sabitler ve bazı sayı dizileri hakkında bilgi bulabilirsiniz.
Karmaşık sayılar
Bilindiği gibi, bütün sayıların karesi pozitif bir sayıdır. Buna benzer olarak da, pozitif sayıların reel bir karekökü vardır. Yani örneğin, 9 sayısının karekökü 3 sayısıdır. Çünkü 3 x 3 = 9’dur. Benzer biçimde 16’nın karekökü 4’dür. Bilinen tüm pozitif sayıların karekökü vardır. Peki negatif bir sayının karekökü varmıdır? Varsa hesaplanabilir mi? Bu sorunun yanıtı, negatif sayıların karekökü vardır olacaktır. Bir negatif sayının karekökü bir sanal sayıdır.
Görünüşte anlamsız olan eksi bir sayının karekökünü alan bir formülü, kağıt üzerinde ilk olarak, İtalyan matematikçi Cardan yazmıştır. 10 sayısının, çarpımları kırk olan iki parçaya ayrılması olasılığı araştırılırken, bu problemin ussal bir çözümü olmamasına karşın olanaksız sayılan iki anlatım biçiminde bir yanıt elde edilebileceğini gösterdi:
olduğunu gösterdi. Cardan, bu gösterimi çekine çekine yapmış, onları sanal ve anlamsız bulduğunu bildirmişti. Ancak bu gösterim, eksi sayıların kareköklerinin yazılmasına cesaret edilmesinin ilk örneğidir. Bu çalışmanın ardından, matematik dünyasında karmaşık sayılar sıklıkla kullanılmaya başlanmıştır.
Ünlü Alman matematikçi Leonard Euler, 1970’de yayımlanan “Cebir” kitabında sanal sayıların geniş uygulanışı bulunuyor. Euler, bu sayılarla ilgili olarak, “bu sayılar gerçek değillerdir, sanaldırlar, ne sıfırdan küçük ne de büyüktür.” demiştir.
Denilebilir ki, sanal sayılar ailesi olağan ya da gerçek sayıların aynadaki görüntüleridirler ve gerçek sayılarda olduğu gibi birden başlayıp, bütünüyle aynı yoldan, yani sanal sayılar birimiyle ve genelde i simgesiyle gösterilen ‘den başlayarak, bütün sanal sayılar oluşturulabilir.
olduğu gözükmektedir. Benzer biçimde olarak yazılabilir.
İlk kez Cardan tarafından yapıldığı gibi, gerçek bir sayı ile sanal bir sayı, tek bir terim oluşturmak için birleştirilebilir. Bu sayılar, karmaşık sayı olarak bilinir. Sanal sayılar matematik alanına girdikten sonra, biri Wessel adında Norveç’li bir topograf, öteki Robert Argand adında Paris’li bir muhasebeci olan iki amatör matematikçi tarafından yalın geometrik bir yorum yapılıncaya kadar, yaklaşık iki yüzyıl, bir anlaşmazlık ve giz perdesi altında kaldı.
Wessel ve Argand’ın açıklamalarında, 3 + 4i biçimindeki bir karmaşık sayıda (şekilde) 3, yatay uzaklığı, yani apsisi, 4 düşey uzaklığı, yani ordinatı göstermektedir.
Gerçekten de bütün olağan gerçek sayılar (eksi ya da artı), yatay eksen üzerinde kendilerine karşılık olan noktalara, öte yandan bütünüyle sanal olan sayılar da düşey üzerindeki noktalarla gösterilebilirler. Yatay eksen üzerinde gösterilebilen bir gerçek sayıyı, örneğin 3’ü, sanal birim olan i ile çarptığımız zaman bütünüyle 3i sayısını elde ederiz ki bu, düşey eksen üzerinde gösterilebilir. Bundan böyle i ile çarpmak, geometrik olarak saat yelkovanının tersi yönde bir dik açı kadar dönmeye eşdeğerdir.
Şimdi bir kez daha 3i ile çarparsak bir ’lik dönüş daha yapmamız gerekir ki bu kez sonuç olarak yeniden yatay eksen üzerine ama eksi yana geliriz.
Böylece görüyoruz ki “ i’nin karesi eşittir –1 “ anlatımı, “ iki kez dik açılı bir dönüş ile eksi yana geliriz” anlatımından daha iyi anlaşılabilir.
Kuşkusuz, aynı kural karmaşık sayılar için de doğrudur. 3 + 4i ‘yi i ile çarpın şimdi.
görüldüğü gibi -4+3i ye karşılık olan nokta 3+4i ye karşılık olan noktanın başlangıç noktası çevresinde dönmesiyle elde edilen noktaya uymaktadır. Bunun gibi –i ile çarpım da yine şekilde görülebileceği gibi başlangıç noktası çevresinde ama bu kez saat yelkovanı yönünde bir dönüşten başka birşey değildir.
Sanal sayıları saran giz perdesini ortadan kaldırmak için aşağıdaki probleme bir göz atalım:
Macera sever genç bir adam, büyükbabasının babasından kalma belgeler arasında, gizli gömünün yerini gösteren bir kağıt bulur. Tanım şöyledir: “...derece kuzey enlemine ve ...derece batı boylamına yelken aç, bırakılmış bir ada bulacaksın. Adanın kuzey kıyılarında çevresi kapalı olmayan bir çayır, bu çayırda tek başına duran bir meşe bir de çam ağacı vardır. Orada bir de hainleri astığımız bir darağacı göreceksin. Darağacından başlayıp meşe ağacından doğru adımlarını sayarak gel, meşe ağacından bir dik açı kadar sağa dön, aynı sayıda adımla ilerle, orada yere bir kazık çak. Buradan yine darağacına gel bu kez çam ağacına doğru adımlarını sayarak ilerle, çam ağacına gelince bir dik açı kadar sola dön ve bu yönde önce saydığın adımlar kadar ilerle, burada da yere bir kazık çak. Bu iki kazık arasının ortasını bul, gömü oradadır.”
Bu tanım oldukça açık ve kesindi; genç adam bir gemi kiralayıp kuzey denizlerine açıldı. Adayı, çayırı, meşe ve çam ağacını buldu. Ama eski darağacı kaybolmuştu. Bu tezkere yazıldığından bu yana çok zaman geçmiş olduğu için yağmur, güneş ve rüzgar onu yıkmış, önceki yerinde iz bırakmayacak şekilde toprağa karıştırıp yok etmişti.
Maceracı genç umutsuzluğa düşüp çılgınca bir öfkeyle bütün çayırı rastgele kazmaya başladı. Ama bütün çabaları boşa gitti; ada çok büyüktü. O yüzden eli boş döndü. Büyük bir olasılıkla gömü belki hemen oracıktaydı.
Acıklı bir öykü, ama daha acıklı olan, bu gencin biraz matematik, özellikle de sanal sayıları kullanmayı bilmesinin bu gömüyü bulmasına yetecek olmasıdır. Adayı, bir karmaşık sayılar düzlemi olarak düşünelim. İki ağacın dibinden geçen bir eksen (gerçek eksen) ile bu uzaklığın ortasından geçen başka bir ekseni çizelim.
Bu iki ağaç arasındaki uzaklığın yarısını birim olarak alırsak meşe ağacı gerçek eksende +1 ve çam ağacı –1 noktalarında bulunuyor diyebiliriz. Darağacının yerini bilmediğimize göre bunun bilinmeyen yerinin de daağacına benzemesi nedeniyle bunu harfiyle gösterelim. (Eski Yunan alfabesi) Darağacının kesinlikle eksenlerin biri üzerinde bulunması gerekli olmadığına göre bir karmaşık sayı olarak düşünülebilir. olup a ile b nin anlamları şekilde açıklanmıştır.
Yukarıda sözü edilen sanal sayıların çarpım kurallarını anımsayarak basit birkaç hesaplama yapabiliriz. Darağacı ve meşe –1 noktalarında iseler aralarındaki uzaklık ve yön biçiminde gösterilebilir. Bunun gibi, darağacı ile çam arasındaki uzaklık da ile gösterilebilir. Bu iki uzaklığı önce saat yelkovanı yönünde bir dik açı kadar döndürdükten sonra saat yelkovanına ters yönde yine bir dik açı kadar döndürmek demek, yukarıdaki kurala göre –i ve i ile çarpmak demektir. Öyleyse kazıkların çakılacağı noktalar şöyle bulunur:
Birinci kazık:
İkincş kazık:
Gömü, iki kazık arasındaki uzaklığın ortasında olduğundan, bu iki karmaşık sayı toplamının yarısını bulmalıyız.
Poliandromik sayı nedir?
Poliandromik sayı, sayı son basamağından başlanarak yazıldığında aynı sayıya eşit olan simetrik sayıdır. biçiminde olan sayılardır. Bir basamaklı pozitif sayılar da poliandromik sayılardır. Tanımdan anlaşılacağı gibi en küçük iki basamaklı poliandromik sayı 11, en küçük üç basamaklı poliandromik sayı da 101’dir.
196 Algoritma Yöntemi
Poliandromik olmayan bir tamsayıdan yola çıkarak poliandromik olan bir sayıya ulaşmak için kullanılan bir yöntemdir. Yöntem şu şekilde uygulanır. Poliandromik olmayan bir tamsayı seçilir. Seçilen tamsayının basamakları yer değiştirilerek sayının tam tersi bulunur ve bu sayılar toplanır. Buna sayının algoritmasını almak denir. Aynı işlem çıkan sonuç için de bir poliandromik sayıya ulaşana kadar devam eder. Bu yöntemi, bazı 2 basamaklı sayılar için uygulayalım.
35 + 53 = 88
74 + 47 = 121
87 + 78 = 165 ... 165 + 561 = 726.... 726+627 = 1353..... 1353 + 3531 = 4884
Algoritma yöntemi, bir çok tamsayıya uygulanabilir. Uygulanamadığı çok az sayıda tamsayı vardır. Yöntemin uygulanamadığı sayılar : 196, 295, 394, 493, 592, 689, 691, 788, 790, 879, 887, ... şeklindedir.
Yukarıda verilen sayılara algoritma yöntemi uygulanamaz demiş olsak da, aslında bu sayılar çok yüksek sayılara kadar yöntemin uygulandığı ama poliandromik sayıya ulaşılamadığı sayılardır. Belki de daha büyük sayılara kadar uygulandığında poliandromik sayı verebilirler. Örneğin 196 sayısı için yöntem uygulandığında elde edilen ilk sayı 887 olup, devam edildiğinde 1675, 7436, 13783…. sayılarına ulaşılır. 1990 yılında, John Walker, bilgisayar yardımıyla, 196 sayısının 2415836 defa algoritmasını almış ve poliandromik sayıya ulaşamamıştır. Yine 196 sayısı için 1995 yılında Tim Irvin 9480000 defa algoritma almış ve gene poliandromik sayıya ulaşamamıştır.
Algoritma yöntemi kullanılarak bazı sayıların poliandromik sayı üretmeyeceğine yukarıda değinmiştik. Bu konuda yapılan bazı çalışmalardan örnekler verebiliriz. Örneğin, 23 adımda poliandromik sayı üretmeyen sayıların sayısı ilk 10000 sayı arasında yalnızca 251’dir. Bunlardan bazıları 23 adımdan sonraki adımlarda poliandromik sayı verebilirler. İlk 100000 sayıda, algoritma yöntemi sonucu hiçbir şekilde poliandromik sayı üretmeyen sayıların sayısı ise 5996 olarak belirlenmiştir.
Poliandromik asallar
Poliandromik asallar, aynı zamanda asal sayı olan poliandromik sayılardır. Bazı poliandromik asallar; 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131.... şeklindedir.
Yukarıdaki tabloda, yatay eksen tam sayıları, düşey eksen ise poliandromik asalların sayısını gösteren eksendir. Belirli bir sayıya kadar olan poliandromik sayıların sayısını gösterir. Örneğin, 1 basamaklı poliandromik asal sayısı 4, iki basamaklı poliandromik asal sayısı 1, üç basamaklı poliandromik asal sayısı 15’dir. Henüz ispatlanmamış olsa da, 11 sayısı dışında, hiçbir çift basamak sayısına sahip sayının poliandromik asal olmadığı kabul edilmektedir.
Pi sayısı
Şüphesiz ki, pi sayısı, en ünlü sayılar arasındadır, sembolüyle gösterilir. Pi sayısı, çemberin çevresinin, çapına oranıdır. Tüm çemberler için bu oran sabittir. Pi sayısını ünlü yapan, sayının irrasyonel bir sayı olması, hatta, irrasyonel sayılardan da öte bazı özelliklerinin olmasıdır. Öncelikle bunlara değinelim.
İrrasyonel sayı, ondalık basamak sayısı sonsuz olan sayıdır. Örneğin “3” sayısının ondalık basamağı yoktur, yani irrasyonel değildir, “1,345” sayısının ondalık basamak sayısı üçtür. Yani sonlu sayıdadır. Bu nedenle 1,345 sayısı irrasyonel değildir. En çok karşımıza çıkan irrasyonel sayılar, Pi sayısı, , “e” gibi sayılardır. Burada, sayısı, birçok fiziksel eşitlikte, sabit sayı olarak kullanıldığı gibi, örneğin iki kenarının uzunluğu 1 olan bir ikizkenar dik üçgenin hipotenüsüdür. Ayrıca , pisagor sabiti olarak bilinir. “e” sayısı ise logaritmada karşımıza çıkar. Doğal logaritmik taban olarak bilinir.
Pi sayısı, bütün irrasyonel sayılar içinde, hatta tüm sayılar içinde matematikçiler tarafından üzerinde en çok çalışılan ve en çok merak uyandıran sayıdır. Şunu da belirtmek gerekir ki, pi sayısının irrasyonel bir sayı olduğu ancak 1737’de ispatlanmıştır. Bu demektir ki, bu tarihe kadar matematikçiler, pi sayısının kesin bir değeri olabileceğini düşünüyorlardı. Zaten, pi sayısının irrasyonel olduğu ispatlanana kadar, sayının ondalık basamaklarının kesin değeri bulunmaya çalışılmıştır. Bunun yanında, sembolü de ilk olarak 1737 yılında kullanılmıştır.
Pi sayısı, m.ö 2000’li yıllarda Eski Babil uygarlığı döneminde farkedilmiştir. Burada pi’nin farkedilmesi demek, çemberin çevresinin çapına oranının sabit olduğunun farkedilmesi demektir. Babiller, pi sayısının değerini 3 1/8 olarak bulmuşlardı. Yani 3,125 anlamına geliyor. Bu değer, ikinci ondalık basamakla birlikte pi nin gerçek değerinden farklı. Aynı dönemde, Mısır’lılar da pi sayısının değerini olarak bulmuşlardı. Gene aynı dönemlerde Hint’liler ise pi’yi olarak hesaplamışlardı. Bütün bu yaklaşımların doğruluğunun daha iyi anlaşılabilmesi için aşağıdaki tabloyu incelemek yararlı olabilir.
3,160493827.....
3 1/8
3.125
3,16227766
Gerçek pi
3,1415926535
Pi sayısına yaklaşımlara ilk önemli basamak, Arşimed’in geliştirdiği yöntemle pi sayısının aralığında olduğunu bulmasıdır. Arşimed, bu yaklaşımı m.ö 250’li yıllarda yapmıştır.
Mıısrlı bilim adamı Ptolemy, m.s 150’li yıllarda pi sayısının değerini 377/120 olarak vermiştir. M.s 500’lü yıllarda da Tsu Ch’ung-Chi’nin ortaya attığı değer 355/113. Ptolemy’nin bulduğu değer üçüncü, Ch’ung-Chi’nin değeri ise altıncı ondalığa kadar doğrudur.
Lambert’in, 1761’de pi sayısının irrasyonel olduğunu ispatlamasıyla, çalışmalar pi sayısının daha fazla sayıda ondalık basamağını bulmaya yöneldi. 1882 yılında Lindemann, pi sayısının sadece irrasyonel olmadığını, aynı zamanda transandantal sayı olduğunu gösterdi. Lindemann’ın bu buluşu, pi sayısının herhangi bir sayının karekökü olamayacağını göstermiş oldu.
Hint matematikçi Ramanujan, 20.yüzyılılın başlarında pi sayısı için üç ayrı değer bulmuştur. Ramanujan’ın bulduğu üç değer ile pi sayısının gerçek değeri aşağıdaki tabloda verilmiştir.
3,14162371...
3,141592653...
3,141592654...
Gerçek pi
3,141592654...
Yukarıdaki yaklaşımlardan üçüncü yaklaşımın oldukça başarılı olduğu gözükmektedir. Bilgisayar teknolojisinin gelişmesiyle birlikte, bilgisayarlar yardımıyla pi sayısının gerçek değeri daha fazla ondalık basamaklara kadar hesaplanabilmiştir. Günümüzde pi sayısının gerçek değeri 1 trilyondan fazla ondalık basamağa kadar bilinmektedir.
Aşağıda, pi sayısının değerini bulmaya yönelik çalışmaların sonucu kronolojik olarak verilmiştir.
İsim
Tarih
Doğru ondalık basamak sayısı
Buluınan değer
Babiller
m.ö 2000
3,125
Mısırlılar
m.ö 2000
3,16045
Çinliler
m.ö 1200
3
Arşimed
m.ö 250
3,1418
Hoh Han Su
130
3,1622
Ptolemy
150
3,14166
Chung Hing
250
3,16227
Wang Fau
250
3,15555
Liu Hui
263
3,14159
Siddhanta
380
3,1416
Tsu Ch’ung Chi
480
3,1415926
Aryabhata
499
3,14156
Brahmagupta
640
3,162277
Al-Kharizmi
800
3,1416
Fibonacci
1220
3,141818
Al-Kashi
1429
3,14159265358979
Otho
1573
3,1415929
Viete
1593
3,1415926536
Romanus
1593
15
Van Ceulen
1615
35
Newton
1665
16
Sharp
1699
71
Seki
1700
10
Kamata
1730
25
Machin
1706
100
De Lagny
1719
112
Takebe
1723
41
Matsugana
1739
50
Vega
1794
140
Rutherford
1824
152
Strassnitsky ve Dase
1844
200
Clausen
1847
248
Lehmann
1853
261
Rutherford
1853
440
Shanks
1874
707
Ferguson
1947
710
Ferguson ve Wrench
1947
808
Wrench ve Smith
1949
1120
ENİAC
1949
2037
Nicholson ve Jeenel
1954
3092
Genuys
1958
10000
Felton
1958
10021
Guilloud
1959
16167
Shanks ve Wrench
1961
100265
Guilloud ve Bouyer
1973
1001250
Guilloud
1982
2000050
Tamura
1982
2097144
Ushiro ve Kanada
1983
10013395
Gosper
1985
17526200
alıntıdır
sevgiler
Sayı Teorisi Nedir Öğrenelim
Normal
